Dấu hiệu chia hết cho một số nguyên dương bất kỳ là khái niệm cơ bản giúp học sinh dễ dàng nhận biết một số bất kỳ có chia hết cho các số như 2, 3, 5, 7, 9, 11… Không. Nắm vững được kiến thức này sẽ giúp ích cho các bạn rất nhiều trong việc giải quyết các dạng bài tập về số học cơ bản, nâng cao. 

Những khái niệm về dấu hiệu chia hết một số bất kỳ

  • Chia hết có nghĩa là khi bạn chia một số cho một số khác, kết quả là một số nguyên không phải là số thực.
  • Các quy tắc chia hết này cho phép bạn kiểm tra xem một số có chia hết cho một số khác không mà không phải tính toán quá nhiều.
  • Bất kỳ số nguyên nào (không phải là một phân số) đều chia hết cho 1.
  • Khi một số chia hết cho một số khác thì nó cũng chia hết cho từng nhân tố của số đó.

Dấu hiệu chia hết cho 2

Một số chia hết cho 2 chỉ khi chữ số cuối của số này là số chẵn (chia hết cho 2): Các số chẵn bao gồm 0, 2, 4, 6, 8. Cho dù chữ số đó có bao nhiêu chữ số đi nữa, ví dụ như 4 chữ số là 2020, hay 8 chữ số là 10000000 thì chỉ cần biết chữ số cuối cùng là số chẵn thì chắc chắn số đó sẽ chia hết cho 2.

Ví dụ: Số 2019 không chia hết cho 2 vì số cuối cùng là số lẻ (số 9).

Số 2020 chia hết cho 2 vì số 0 là số chẵn.

Dấu hiệu chia hết cho 3

Một số chia hết cho 3, chỉ khi tổng của tất cả các chữ số của nó chia hết cho 3. Ta không cần biết nó có bao nhiêu chữ số, là số lẻ hay số chẵn, chỉ cần cộng tất cả các chữ số tạo thành số đó nếu chia hết cho 3 thì số đó chắn chắn chia hết cho 3.

Ví dụ: Ví dụ: số 345 chia hết cho 3 vì tổng các chữ số của nó (3 + 4 + 5 = 12) chia hết cho 3.

Số 123455 không chia hết cho 3 vì tổng 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 = 20 không chia hết cho 3.

Dấu hiệu chia hết cho 4 

Với trường hợp phép chia hết cho 4 ta phải xét 2 trường hợp gồm:

Nếu số lớn hơn 99:

  • Một số chia hết cho 4 khi 2 chữ số cuối của số đó là số 0 hoặc tổng 2 số cuối cùng chia hết cho 4.
  • Ví dụ: 14676 chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối cùng 76 tạo thành một số chia hết cho 4 (76/4 = 19). Số 345200 cũng chia hết cho 4 vì 2 chữ số cuối là số không.

Nếu số nhỏ hơn 99:

  • Số chỉ chia hết cho 4 khi ta nhân đôi chữ số hàng chục và cộng thêm chữ số hàng đơn vị, nếu kết quả này chia hết cho 4 thì số ban đầu sẽ chia hết cho 4. 
  • Ví dụ: số 64, số hàng chục ở đây là 6, chúng ta cần nhân đôi số này và cộng thêm chữ số cuối: 2 * 6 + 4 = 16, 16 chia hết cho 4 do đó 64 chia hết cho 4.
  • Hoặc số 96  = 9.2 + 6 = 24 /4 = 6 nên 96 chia hết cho 4. 
  • Số 47 = 4.2 + 7 = 15 không chia hết cho 4 nên 47 không chia hết cho 4.

Dấu hiệu chia hết cho 5

Trường hợp chia hết cho 5 đơn giản hơn nhiều, điều kiện cần là chữ số cuối có giá trị bằng 0 hoặc 5 thì nó chia hết cho 5.

Ví dụ: Số 2015 chia hết cho 5 vì chữ số cuối cùng bằng 5, hoặc số 2020 có số 0 cuối cùng nên thỏa điều kiện sẽ chia hết cho 5.

Dấu hiệu chia hết cho 6

Có các quy tắc nhận biết một số có chia hết cho 6 gồm:

  • Một số chia hết cho 6 khi nó chia hết cho 2 và chia hết cho 3. Ví dụ số 12 /2 = 6 và 12/3 = 4 nên 12 chia hết cho 6.
  • Nếu kết quả chữ số hàng chục nhân với 4 rồi cộng thêm chữ số hàng đơn vị của một số bất kỳ chia hết cho 6 thì số đó chia hết cho 6. Ví dụ: Số 72  = 7.4 + 2 = 28 + 2 = 30 / 6 = 5. Nên 72 chia hết cho 6. 
  • Nếu tổng các chữ số là một số chẵn và tổng này chia hết cho 3 thì số đó đó chắc chắn sẽ chia hết cho 6. Ví dụ:  Số 132 có tổng các chữ số = 1 + 3 + 2 = 6 /3 = 2. Nên 132 chia hết cho 6.

Dấu hiệu chia hết cho 7

Có các dấu hiệu nhận biết một số bất kỳ có chia hết cho 7 không gồm:

  • Nhân đôi chữ số cuối cùng rồi lấy các chữ số còn lại trừ cho phép nhân đó nếu kết quả chia hết cho 7 thì số đã cho sẽ chia hết cho 7. Ví dụ 784 ta thực hiện như sau: lấy số cuối cùng là 4.2  = 8, lấy 2 chữ số còn lại là 78 – 8 = 70 /7 = 10, suy ra được 784 sẽ chia hết cho 7. 
  • Nếu một số có 2 chữ số và ta lấy chữ số hàng chục nhân với 3 rồi cộng với chữ số hàng đơn vị. Nếu kết quả này chia hết cho 7 thì số đó chia hết cho 7. Lưu ý rằng cách này chỉ áp dụng với số có 2 chữ số. Ví dụ số 98 ta lấy 9.3 + 8 = 27 + 8 = 35 /7 = 5. Nên 98 sẽ chia hết cho 7.

Dấu hiệu chia hết cho 8

Nếu ba chữ số cuối của một số chia hết cho 8, thì số đó chia hết cho 8. Ví dụ số 109816 có 816 /8 = 102 nên 109816 chia hết cho 8.

Mẹo gợi ý làm nhanh: Ta lấy 3 số cuối cùng chia liên tiếp 3 lần cho 2, nếu kết quả là số nguyên thì số đó chia hết cho 8. Ví dụ số 109816 có  816/2 = 408, 408/2 = 204, 204/2 = 102.

Dấu hiệu chia hết cho 9

Một số chỉ chia hết cho 9 khi tổng của tất cả các chữ số của nó chia hết cho 9, ví dụ số 12345678 chia hết cho 9 vì 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36 chia hết cho 9.

Dấu hiệu chia hết cho 10

Một số chỉ chia hết cho 10 khi chữ số cuối của số này là 0 (không).

Ví dụ: Các số 100, 500, 2020, 5050 đều chia hết cho 10.

Dấu hiệu chia hết cho 11

Một số chia hết cho 11 khi thỏa điều kiện: Lấy chữ số đầu tiên trừ cho chữ số thứ 2 rồi cộng cho chữ số thứ 3 rồi trừ cho chữ số thứ 4… Tiếp tục quy luật này đến chữ số cuối cùng, không phân biệt kết quả là số âm hay dương. Nếu kết quả đó chia hết cho 11 thì số ban đầu sẽ chia hết cho 11.

Ví dụ: Số abcde = a – b + c – d + e / 11 = > abcde chia hết hết cho 11. Số 1364 = 1 – 3 + 6 – 4 = 0 chia hết cho 11 => 1364 chia hết cho 11.

Dấu hiệu chia hết cho 12

Nếu một số chia hết cho 3 và 4 thì số đó sẽ chia hết cho 12. 

Ví dụ: Số 648 có chia hết cho 12 không?

Bài giải: Ta áp dụng tính chất 1 số chia hết cho 3 và 4 bên trên như sau: 

648 = 6 + 4 + 8 = 18 /3 = 6 và 848 có 48/4 = 12 nên ta suy ra được số 648 chia hết cho 12.

Dấu hiệu chia hết cho 13

Một số chia hết cho 13 nếu lấy chữ số hàng đơn vị nhân cho 4 rồi cộng với các chữ số còn lại. Nếu kết quả này chia hết cho 13 thì số ban đầu chia hết 13.

Ví dụ số số 169 chia hết cho 13 vì 9.4 + 16 = 52 /13 = 4.

Dấu hiệu chia hết cho 15

Những số thỏa điều kiện vừa chia hết cho 3 và cho 5 sẽ chia hết cho 15. Ví dụ số 90 có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho 5 và tổng 9 + 0 = 9 chia hết cho 3 nên 90 chia hết cho 15.

Dấu hiệu chia hết cho 18

Nếu một số chia hết cho 2 và chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 18.

Dấu hiệu chia hết cho 25

Nếu chữ số hàng chục và hàng đơn vị chia hết cho 25 thì số đó chia hết cho 25.

Kết luận: Còn nhiều dấu hiệu chia hết cho các số còn lại trong dãy số tự nhiên, nhưng cách thực hiện tương đối phức tạp nên mình chỉ dừng lại với các số trong danh sách trên.