Hình trụ cũng như hình nón, hình hộp chữ nhật là dạng hình học 3 chiều. Đây là loại hình phổ biến trong thực tế như bình cách nhiệt, ống tre, ống nước… Bài này mình sẽ tổng hợp toàn bộ công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích hình trụ tròn kèm theo nhiều ví dụ minh họa thực tế nhất.

Hình trụ là gì?

Hình trụ trong không gian 3 chiều được tạo thành bằng 2 đường tròn có kích thước bằng nhau và một hình chữ nhật nối 2 đáy này lại với nhau. 

Công thức tính diện tích và thể tích hình trụ
Minh họa hình trụ bằng hình vẽ

Những điểm cần chú ý hình trụ gồm:

  • 2 mặt đáy là 2 đường tròn có cùng bán kính, diện tích và kích thước.
  • Chiều cao h là giao điểm giữa 2 tâm đường tròn trên và dưới và h song song với bán kính đáy.
  • Hình trụ không có bất kỳ đỉnh nào.
  • Hai mặt đáy song song và đồng dạng với nhau.
  • Mặt hình chữ nhật là mặt cong của hình trụ.

Công thức tính diện tích xung quanh hình trụ

Diện tích xung quanh hình trị được xác định bằng chu vi đáy (chu vi hình tròn) nhân với chiều cao.

Mà ta đã biết chu vi hình tròn bằng 2π.r

\dpi{150} \fn_phv \large S_{xq} = 2.\pi .r.h

Trong đó:

  • r: Bán kính hình tròn đáy.
  • h: là chiều cao của hình trụ.
  • π: Là hằng số Pi và có giá trị xấp xỉ 3,14

Công thức tính diện tích toàn phần hình trụ

Diện tích toàn phần hình trụ bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích 2 mặt đáy. 

Dễ dàng xác định được diện tích mặt đáy là diện tích hình tròn.

\dpi{150} \fn_phv S_{tp} = S_{xq} + 2S_{d} = 2.\pi .r^{2} + 2.\pi .r.h = 2.\pi.r(r+h)

Công thức tính thể tích hình trụ

Thể tích hình trụ xác định bằng diện tích mặt đáy nhân với chiều cao hình trụ.

\dpi{150} \fn_phv \large V = \pi .r^{2}.h

Bài tập áp dụng công thức 

Ví dụ 1: Nếu diện tích xung quanh hình trụ là 500 cm² và chiều cao của nó là 10 cm, hãy xác định bán kính hình trụ.

Bài giải: Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh hình trụ ta có:

Sxq = 2π.r.h <=> 500 = 2.3,14.r.10 <=> 500 = 62,8.r

=> 500 / 62,8 = 7,96 cm

Vậy bán kính hình trị là 7,96 cm

Ví dụ 2: Xác định chiều dài của một hình trụ đặc có đường kính 2cm nằm trong hình trụ rỗng có đường kính ngoài 20cm, dày 0,25cm và dài 15cm.

Bài giải: Đường kính của hình trụ đặc = 2cm nên bán kính = 1cm. Vậy để xác định chiều cao ta cần tìm được thể tích hình trụ rỗng bên ngoài. Vì V1 = V2.

V1 = π.r².h = π. (1) ².h = π.h (1)

Đối với hình trụ rỗng, h = 15cm; đường kính ngoài = 20cm hoặc bán kính ngoài = 10cm. Do đó, đường kính trong = 10-0,25 ( độ dày) = 9,75cm. 

V2 = π. [10² – (9,75²)] × 15 = 15π × 19,75 × 0,25 = 232.5 cm3

Vì V1 = V2 nên từ (1) ta có 232.5  = 3,14.h => h = 74,06 cm

Ví dụ 3: Tìm diện tích toàn phần của hình trụ có bán kính đáy là 5cm và chiều cao  là 7cm.

Bài giải: Áp dụng công thức tính diện tích toàn phần hình trụ ta có: 

Stp = 2πr (r + h) = 2.3,14.5.(5 + 7) = 376,99 cm2.

Kết luận: So với các hình học 3 chiều khác thì việc nhớ và tìm diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích hình trụ đơn giản hơn nhiều.