Hình cầu có thể xem là hình học không gian mà chúng ta tiếp xúc, sử dụng nhiều nhất trong thực tế. Ví dụ như các loại bóng gồm bóng đá, bóng bàn, bóng chuyền,bóng rổ… hay các vật dụng chuyên dụng khác. Các hành tinh nói chung và trái đất cũng là mô phỏng thực tế nhất về hình cầu. Vậy công thức nào giúp xác định nhanh diện tích, thể tích hình cầu?

Nhà toán học Hy Lạp Acsimet đã phát hiện ra rằng diện tích bề mặt của một hình cầu giống như diện tích bề mặt bên của hình trụ có cùng bán kính với hình cầu và chiều cao bằng chiều dài đường kính của hình cầu.

Vậy để tìm diện tích hay thể tích bề mặt hình cầu ta cần biết cách tính diện tích và thể tích hình trụ trước.

Hình cầu là gì?

Hình cầu là hình học 3 chiều trong đó tất cả các điểm trong mặt phẳng có cùng khoảng cách với một điểm cho trước, tâm của hình cầu. Đường kính của hình cầu là đường thẳng nối hai điểm trên bề mặt của hình cầu khi đi qua tâm. Bán kính của hình cầu là một đường thẳng từ tâm của hình cầu đến bất kỳ điểm nào trên bề mặt của hình cầu.

Thể tích và diện tích hình cầu

Công thức tính diện tích hình cầu

Chỉ cần biết đường kính hoặc bán kính ta sẽ dễ dàng tính được diện tích bề mặt của bất kỳ hình cầu nào.

\dpi{150} \fn_phv \large S = 4.\pi .r^{2}\, \, \, \, Ho\check{a}c \, \, \, S = \pi .d^{2}

Trong đó:

  • S: Ký hiệu diện tích hình cầu.
  • r: Bán kính mặt cầu.
  • d: Đường kính mặt cầu.

Công thức tính thể tích hình cầu 

Tương tự như diện tích, thể tích khối cầu được tính nếu biết trước bán kính ( r) hoặc đường kính (d).

\dpi{150} \fn_phv \large V = \frac{4}{3}.\pi .r^{3}

Công thức tính diện tích hình bán cầu (một nữa hình cầu)

Một bán cầu là một nửa của hình cầu. Khi một quả cầu được cắt thành hai nửa, thì hình dạng chúng ta có được gọi là bán cầu. Một bán cầu có bề mặt cong và đế phẳng. Diện tích bề mặt cong của bán cầu là một nửa diện tích bề mặt của hình cầu. 

Diện tích bề mặt cong của bán cầu: 

\dpi{150} \fn_phv \large S_{mc} = \frac{1}{2}.4.\pi .r^{2} = 2.\pi .r^{2}

Diện tích bề mặt cong của một bán cầu = 2πr². Vì một hình cầu là sự kết hợp của một bề mặt cong và một mặt phẳng, để tìm tổng diện tích hình bán cầu, ta cần cộng 2 diện tích này lại. Mặt đế phẳng là một vòng tròn mặt phẳng có diện tích πr² . Tổng diện tích bề mặt của một bán cầu là 2πr 2 + πr 2 . Vì thế:

Tổng diện tích bề mặt của Bán cầu:

\dpi{150} \fn_phv \large S_{\frac{1}{2}hc} = 2.\pi .r^{2} + \pi .r^{2} = 3.\pi .r^{2}

Công thức tính thể tích hình bán cầu

Như đã nói một bán cầu là một nửa hình cầu, do đó thể tích của nó cũng sẽ bằng một nửa thể tích của hình cầu. Thể tích của bán cầu là:

\dpi{150} \fn_phv \large V_{bc} = \frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\pi .r^{3} = \frac{2}{3}.\pi .r^{3}

Bài tập ví dụ minh họa 

Ví dụ 1: Một quả cầu hình cầu được bơm phồng lên gấp 4 lần bán kính ban đầu của nó. Nếu bán kính ban đầu là 4cm, thì diện tích bề mặt tăng gấp 4 lần đúng hay sai?

Bài giải: Ta cần tính diện tích hình cầu ban đầu và diện tích khi bán kính tăng gấp 4 lần. Sau đó lấy tỉ lệ 2 kết quả này sẽ biết được đáp án là đúng hay sai.

Ký hiệu Sbd là diện tích ban đầu hình cầu, S4 là diện tích khi bán kính tăng 4 lần.

Ta có Sbd = 4π.r² = 4.π.4.4 = 64π

S4 = 4π.(4r)² = 4π.(16)² = 1024π

S4/Sbd = 1024π / 64π = 16.

Vậy thực tế khi bán kính tăng gấp 4 lần thì diện tích khối cầu tăng gấp 16 lần diện tích ban đầu.

Ví dụ 2: Đường kính của mặt trăng xấp xỉ bằng 1/4 đường kính trái đất. Vậy thể tích của trái đất gấp bao nhiêu lần thể tích mặt trăng?

Bài giải: Đặt đường kính Trái đất là x và bán kính trái đất là = x/2

Thể tích Trái đất = 4/3π (x/2)³

Đường kính của mặt trăng = 1/4x = x/4

Bán kính của mặt trăng = 1/2 × 1/4x = x/8

Thể tích mặt trăng = 4/3π (x/8)³ Thể tích mặt trăng/Thể tích trái đất

 = {4/3π(x/8)³ }/{4/3π (x/2)³ }

= (x/8)³/ (x/2)³ = x³/8³ × 2³/x³ = 2³/8³ = 1/64.

Do đó, thể tích của mặt trăng là 1/64 Trái đất.

Kết luận: Chỉ cần biết được bán kính hoặc đường kính của một hình cầu bất kỳ thì ta sẽ tính được diện tích và thể tích hình cầu đó.