Có nhiều cách tìm diện tích tam giác trong hình học phẳng và hình học không gian. Tùy vào bài toán, loại tam giác mà ta có thể áp dụng các công thức sau để tính diện tích tam giác nhanh chóng và chính xác nhất.

Tính diện tích tam giác khi biết độ dài 3 cạnh

Trong trường hợp này không phân biệt là loại lam giác gì, nếu đề bài cho trước 3 cạnh, ta áp dụng công thức Heron như sau:

\dpi{150} S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Trong đó:

  • S: Là ký hiệu diện tích tam giác.
  • p: Là nữa chu vi của tam giác.
  • \dpi{150} p = \frac{1}{2}(a+b+c)
  • a, b, c: Là độ dài 3 cạnh của tam giác.

Ví dụ minh họa

Cho tam giác ABC có độ dài lần lượt là a = 3m, b = 4m, c = 5m. Tính diện tích của tam giác trên?

diện tích tam giác
Áp dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác bất kỳ

Đầu tiên ta tính giá trị p bằng cách sau:

\dpi{150} p = \frac{1}{2}(a+b+c) = \frac{1}{2}(3+4+5) = \frac{12}{2} = 6

Áp dụng công thức Horon ta tính được S:

\dpi{150} S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)} = \sqrt{36} = 6(m_{2})

Tính diện tích tam giác vuông

Diện tích tam giác vuông bằng một nữa tích độ dài 2 cạnh góc vuông. Nếu tồn tại tam giác ABC vuông tại A, và ta xác định được độ dài 2 cạnh góc vuông AB, AC thì:

tam giác vuông

\dpi{150} S = \frac{1}{2}AB.AC

Diện tích tam giác thường

S(ABC) bằng một nữa tích chiều cao hạ từ một đỉnh bất kỳ với cạnh đối diện của đỉnh đó.

\dpi{150} S = \frac{1}{2}a.h

Chiều cao của một tam giác là khoảng cách vuông góc từ một đỉnh đến đáy của tam giác.

diện tích tam giác thường
Đường cao hạ từ đỉnh nào trong tam giác ta đều xác định được cạnh đối diện

Bất kỳ 3 cạnh của một tam giác đều có thể được sử dụng làm cạnh đối diện. Tất cả phụ thuộc vào nơi chiều cao được vẽ.

Ví dụ minh họa 

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao h có đỉnh E có độ dài 3m, DF  = 4m. Hỏi diện tích tam giác trên bằng bao nhiêu?

Ta áp dụng công thức trên để tìm S(DEF) như sau:

\dpi{150} S = \frac{1}{2}a.h = \frac{1}{2} EH.DF = \frac{3.4}{2} = 6(m^{2})

Nếu trường hợp các cạnh của một tam giác cân hoặc tam giác đều, bạn có thể sử dụng định lý Pitago để tìm chiều cao của tam giác và sau đó sử dụng công thức trên để tìm diện tích.

Diện tích tam giác đều

Diện tích tam giác đều là trường hợp đặc biệt vì 3 cạnh đều bằng nhau, ta có thể tìm S(ABC) bằng công thức Horon rút gọn như sau:

\dpi{150} S = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}

Diện tích tam giác theo góc sin

Diện tích tam giác bằng một nữa tích của 2 cạnh kề nhân với sin của góc được tạo bởi 2 cạnh đó.

\dpi{150} S = \frac{1}{2}ab\sin C

diện tích tam giác theo sin
Tính diện tích tam giác theo sin của góc C

Với góc B, A ta cũng áp dụng tương tự như sau:

\dpi{150} S = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A

Ví dụ: Tìm diện tích tam giác PQR nếu p = 6,5 cm, r = 4,3 cm và sinQ = 39˚.

\dpi{150} S = \frac{1}{2}prsinQ = \frac{1}{2}.6,5.4,3.sin39^{\circ} = 8,79(cm^{2})

Diện tích tam giác trên mặt phẳng tọa độ

Khi chúng ta được cho ba đỉnh của một tam giác trên mặt phẳng tọa độ, trước tiên chúng ta nên kiểm tra xem ba đỉnh đó có tạo thành một tam giác vuông hay không. Nếu đó là một tam giác vuông thì ta áp dụng công thức tính diện tích tam giác vuông như trên.

Nếu nó không phải là tam giác vuông thì chúng ta có thể sử dụng công thức Heron hoặc định thức của ma trận.

\dpi{150} S = \pm \frac{1}{2}\begin{vmatrix} x1 & x2 & 1 \\ x2& y2 & 1\\ x3 & y3 &1 \end{vmatrix}

Trong đó ( x1,y1 ), ( x2,y2 ), ( x3,y3 ) là tọa độ của ba đỉnh.

Sử dụng định thức của ma trận chúng ta có thể xác định diện tích của một tam giác có tọa độ nằm trên mặt phẳng tọa độ không.

Diện tích tam giác theo tọa độ vecto

Nếu một tam giác được chỉ định bởi các vectơ u và v bắt nguồn từ một đỉnh, thì diện tích bằng một nửa tích độ dài 2 vectors.

\dpi{150} S = \frac{1}{2}|\vec{u}.\vec{v}|

Tùy theo bài toán cho tam giác có tính chất hay độ dài các cạnh, góc như thế nào mà các bạn áp dụng một trong các công thức trên hợp lý nhất nha.