Hình nón là dạng hình học không gian 3 chiều, nó có hình dáng tương tự kim tự tháp Ai Cập. Vì là hình trong mặt phẳng 3 chiều nên ngoài công thức tính diện tích toàn phần, diện tích xung quanh, diện tích bề mặt hình nón ra. Các bạn cần hiểu và biết công thức tính thể tích hình nón. Hãy cùng mình ôn tập lại toàn bộ công thức tính diện tích và thể tích các loại hình nón chi tiết nhất nha.

Hình nón là gì?

Một hình nón là một hình hình học không gian 3 chiều đặc biệt có bề mặt phẳng và bề mặt  cong hướng về phía trên. Đầu nhọn của hình nón được gọi là đỉnh, trong khi bề mặt phẳng được gọi là đáy. Những vật dụng như chiếc nón lá, cây kem, chiếc mũ sinh nhật có dạng hình nón trong thực tế.

Công thức tính diện tích và thể tích hình nón

Hình nón có 3 thuộc tính chính gồm:

  • Có một đỉnh hình tam giác.
  • Một mặt tròn gọi là đáy hình nón.
  • Đặc biệt nó không có bất kỳ cạnh nào.
  • Chiều cao (h) – Chiều cao là khoảng cách từ tâm của vòng tròn đến đỉnh của hình nón. Hình tạo bởi đường cao và bán kính trong hình nón là một tam giác vuông.

Các loại hình nón 

Hình nón có thể có hai loại, tùy thuộc vào vị trí của đỉnh nằm thẳng hay nghiên.

Hình nón tròn: Một hình nón tròn là một hình có đỉnh vuông góc với mặt đáy , có nghĩa là đường vuông góc rơi chính xác vào tâm của mặt đáy tròn của hình nón. Trong hình bên dưới, h đại diện cho chiều cao và r là bán kính.

Hình nón xiên: Nếu vị trí của đỉnh là bất kỳ vị trí nào và không vuông góc với mặt đáy thì đó là một hình nón xiên.

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón

Diện tích xung quanh hình nón được xác định bằng tích của hằng số Pi (π) nhân với bán kính đáy hình nón (r) nhân với đường sinh hình nón (l). Đường sinh có thể là một đường thẳng hoặc 1 đường cong phẳng. Với hình nón thì đường sinh có chiều dài từ mép của vòng tròn đến đỉnh của hình nón.

\dpi{150} \fn_phv \large S_{xq} = \pi .r.l

Trong đó:

  • Sxq: là ký hiệu diện tích xung quanh hình nón.
  • π: là hằng số Pi có giá trị xấp xỉ là 3,14 
  • r: Bán kính mặt đáy hình nón và bằng đường kính chia 2 (r = d/2).
  • l: đường sinh của hình nón.

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón

Diện tích toàn phần hình nón bằng diện tích xung quanh hình nón cộng với diện tích mặt đáy hình nón. Vì diện tích mặt đáy là hình tròn nên áp dụng công thức tính diện tích hình tròn là Sđ = π.r.r.

\dpi{150} \fn_phv \large S_{tp} = S_{xq} + S_{d} = \pi .r.l + \pi .r^{2}

Công thức tính thể tích hình nón 

Để tính được thể tích hình nón ta áp dụng công thức sau:

\dpi{150} \fn_phv \large V = \frac{1}{3}\pi .r^{2}.h

Trong đó:

  • V: Ký hiệu thể tích hình nón 
  • π: là hằng số = 3,14 
  • r: Bán kính hình tròn đáy.
  • h: là đường cao hạ từ đỉnh xuống tâm đường tròn đáy.

Hình nón cụt là gì

Hình nón cụt là hình nón bị cắt mất phần chốp. Hai đầu tròn của một hình nón bị cắt cụt được gọi là các cơ sở. Chúng ta sẽ gọi bán kính của cơ sở hình tròn nhỏ hơn là bán kính nhỏ và biểu diễn nó bằng r1, và chúng ta sẽ gọi bán kính của cơ sở hình tròn lớn hơn bán kính lớn và biểu thị nó bằng r2. Khoảng cách giữa tâm của hai cơ sở được gọi các chiều cao của hình nón cụt, và ký hiệu nó với h. Cuối cùng, khoảng cách ngắn nhất giữa các cạnh bên ngoài hình nón cụt là đường sinh và ký hiệu là l.

Công thức tính diện tích và thể tích hình nón cụt

Công thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt

Diện tích xung quanh hình nón cụt được xác định bằng diện tích mặt xung quanh bao quanh hình nón cụt không cần quan tâm đến diện tích hai đáy.

\dpi{150} \fn_phv \large S_{xq} = \pi (r_{1} + r_{2}).l

Trong đó:

  • Sxq: Ký hiệu diện tích xung quanh hình nón cụt.
  • r1, r2: Bán kính đáy 2 hình nón cụt.
  • l: Độ dài đường sinh hình nón cụt.

Công thức tính diện tích toàn phần hình nón cụt

Diện tích toàn phần hình nón cụt bằng diện tích xung quanh cộng với diện tích của 2 đáy.

\dpi{150} \fn_phv \large S_{tp} = S_{xq} + S_{2d} = \pi .(r_{1} + r_{2}).l + \pi .r_{1}^{2} + \pi .r_{2}^{2}

Công thức tính thể tích hình nón cụt

Thể tích hình nón cụt bằng hiệu thể tích của hình nón lớn và hình nón nhỏ.

\dpi{150} \fn_phv \large V = \frac{1}{3}\pi (r_{1}^{2} + r_{2}^{2} + r1.r2).h

Trong đó:

  • h: là chiều cao, khoảng cách giữa 2 đáy của hình nón cụt.
  • V: Ký hiệu thể tích hình nón cụt
  • r1, r2: tương ứng với bán kính đáy nhỏ và đáy lớn hình nón cụt.

Bài tập ví dụ cách tính thể tích và diện tích hình nón

Ví dụ 1: Một hình nón có bán kính 3cm và chiều cao 5cm, tìm diện tích toàn phần của hình nón.

Đề bài đã cho biết bán kính và chiều cao hình nón, tuy nhiên để tính được Stp hình nón ta cần tìm độ dài đường sinh.

Độ dài đường sinh bằng tổng bình phương độ dài đường cao cộng với bình phương bán kính. Hay nói cách khác ta áp dụng định lý pitago để tìm giá trị đường sinh trong hình nón bất kỳ.

\dpi{150} \fn_phv \large l = \sqrt{h^{2} + r^{2}} = \sqrt{5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{34} = 5,83\,cm

Áp dụng công thức phía trên để tính diện tích toàn phần hình nón:

\dpi{120} \fn_phv S_{tp} = \pi .r^{2} + \pi .r.l = \pi .r(r+l) = 3,14.3(3+5,83) = 83,17\, cm^{2}

Ví dụ 2: Cho biết diện tích toàn phần hình nón là 375². Nếu đường sinh của nó gấp bốn lần bán kính, thì đường kính cơ sở của hình nón là bao nhiêu? Sử dụng Π = 3.

l = 4r và π = 3

<=> 3 × r × 4 r + 3 × r 2 = 375

<=> 12r 2 + 3r2 = 375

<=> 15r 2 = 375

=> r = 5

Vậy bán kính mặt đáy hình nón là 5 => đường kính mặt nón là 5.2 = 10 cm.

Kết luận: Trên đây là công thức chi tiết để tính diện tích, thể tích hình nón bằng và hình nón cụt. Tùy vào dữ liệu bài toán cho giá trị như thế nào mà các bạn tùy biến để tìm được kết quả chính xác nhất.