Việc nắm rõ cách tính diện tích tam giác đều giúp bạn giải toán nhanh và áp dụng linh hoạt trong thực tế.
1. Khái niệm tam giác đều
Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau và ba góc đều bằng 60°.
Trong tam giác đều, ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba đường phân giác và ba đường trung trực trùng nhau tại một điểm – đó chính là tâm tam giác.
2. Công thức tính diện tích tam giác đều
Theo độ dài cạnh
Nếu cạnh tam giác đều là a, ta có công thức:
S = (a2 × √3) / 4
Trong đó:
- a: độ dài cạnh tam giác đều
- √3: căn bậc hai của 3 (xấp xỉ 1.732)
Ví dụ: Cho tam giác đều có cạnh a = 6 cm.
S = (62 × √3) / 4 = (36 × √3) / 4 = 9√3 cm2
Theo chiều cao
Nếu biết chiều cao h của tam giác đều, công thức diện tích là:
S = ½ × a × h
Với tam giác đều, ta có:
h = (a × √3) / 2
⇒ Thay vào ta được: S = (a2 × √3) / 4
Theo bán kính đường tròn nội tiếp (r)
Công thức:
S = 3 × r2 × √3
Vì với tam giác đều: r = (a × √3) / 6 ⇒ thay vào, ta cũng ra kết quả tương tự.
Theo bán kính đường tròn ngoại tiếp (R)
Công thức:
S = (3 × √3 × R2) / 4
Với R = a / √3.
3. Mối liên hệ giữa các đại lượng trong tam giác đều
| Đại lượng | Ký hiệu | Biểu thức theo a |
|---|---|---|
| Chiều cao | h | (a × √3) / 2 |
| Bán kính nội tiếp | r | (a × √3) / 6 |
| Bán kính ngoại tiếp | R | a / √3 |
| Diện tích | S | (a2 × √3) / 4 |
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho tam giác đều có cạnh a = 8 cm. Tính diện tích.
S = (82 × √3) / 4 = 16√3 cm2
Ví dụ 2:
Cho tam giác đều có chiều cao h = 9√3 cm. Tính cạnh và diện tích.
h = (a × √3) / 2 ⇒ a = (2h) / √3 = (2 × 9√3) / √3 = 18 cm
S = (182 × √3) / 4 = 81√3 cm2
5. Câu hỏi thường gặp
Câu 1: Vì sao công thức có √3?
→ Vì khi tính chiều cao bằng định lý Pythagoras trong tam giác 60°, căn bậc hai của 3 xuất hiện tự nhiên.
Câu 2: Có thể tính bằng định lý Heron không?
→ Có thể, nhưng kết quả vẫn quy về S = (a2 × √3) / 4.
Câu 3: Đơn vị của diện tích?
→ Nếu cạnh đo bằng cm, diện tích là cm2; nếu đo bằng m, là m2.
6. Tổng kết
- Công thức chuẩn: S = (a2 × √3) / 4
- Chiều cao: h = (a × √3) / 2
- Bán kính nội tiếp: r = (a × √3) / 6
- Bán kính ngoại tiếp: R = a / √3
Tam giác đều có tính đối xứng hoàn hảo, là nền tảng trong nhiều bài toán và ứng dụng kỹ thuật. Hiểu rõ công thức giúp bạn học tốt hơn và ứng dụng hiệu quả trong thực tế.
Xem thêm:
